不等式的整數解問題

例

已知不等式 3x-a<5(x+2) 的負整數解有且只有4個，則a的取值范圍是______

分析

本題與第八講的例題類似，其實只是多了一步先用a的代數式來表示x的解集，再根據負整數解的個數，初步確定用含參數a表示的代數式的范圍是哪兩個相鄰整數，并最終確定哪邊取等號.

例

分析

本題是不等式組的整數解問題，而且并沒有告訴我們是那些整數，甚至連是幾個整數都沒有提，是不是沒法做了呢，考慮到第二個不等式可解，其實就能依據它來決定是哪幾個.

解答

由①得，x

由②得，x≥1

∴不等式組解集為1≤x

根據整數解和為10，

則應為1，2，3，4

則4

附：本章經典難題2例

分析

本題與第十講例3對于x>1的一切有理數，不等式x-a>2a都成立，則a______.類似，表面看上去是不等式問題，實際則考察不等式組，我們要厘清題意，什么叫某個不等式的所有解都是另一個不等式的解，這其實就是不等式組口訣中的“同大取大”，或者“同小取小”.另外.需要注意的是，這里所說的a為何值，到底是不是一個值呢?還是求范圍?這需要我們再次判斷.

借助數軸動態圖分析，我們發現，這里要用口訣“同大取大”，則a確定是一個范圍，但到底臨界點哪個更大?

反思：

通過這道題，你應該感受到數學題中，理解題意的重要性，在考慮不等式組同大取大，同小取小時，一定還要看看臨界點能否取等號?現在，你能否根據這道題，不去回看之前的解答，再來重新做一遍呢?

分析

這道題是將方程組，與不等式組綜合的題目，首先，又是三未知數，兩方程問題，則必然要用含某個未知數的代數式表示另兩個未知數.根據三個未知數均為非負數，確定x的范圍，最后的W的最值問題，又與方案優選問題類似，本題的解答思路分析，具體可以回看《第11講》和《第6講》.

解答

①+②×2得，5x-5y=5，y=x-1

①×3+②得，5x+5z=10，z=-x+2

根據x，y，z為非負數，

∴x≥0，x-1≥0，-x+2≥0，

∴1≤x≤2

W=3x+y+z=3x+1

∵3>0，

∴W隨x增大而增大

∴當x=2時，

Wmax=7

附：練習及答案

解答：

1.由①得，x>3，由②得，x>m，

解集為x>3，同大取大，m≤3，

2.由①得，x≥-a，由②得，x<1

則-a<1，a>-1

     編輯推薦：

      2023年中考各科目重點知識匯總

　　 歡迎使用手機、平板等移動設備訪問中考網，2025中考一路陪伴同行！>>點擊查看