三角形的三邊關(guān)系

三角形三邊的關(guān)系，是在學(xué)生初步了解了三角形的定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的特征，從中我們不僅能夠了解三角形三邊之間的大小關(guān)系，也提供了判斷三條線段能否組成三角形的標(biāo)準(zhǔn)。

三角形的三邊關(guān)系：

三角形任意兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

常見(jiàn)應(yīng)用類型

類型一：判斷三條線段能否組成三角形

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析。判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是：看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)。

下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是( )

A.1，2，3 B.5，4，2 C.2，2，4 D.4，6，11

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知

A、1+2=3，不能組成三角形，故A錯(cuò)誤;

B、2+4>5，能夠組成三角形;故B正確;

C、2+2=4，不能組成三角形;故C錯(cuò)誤;

D、6+4<11，不能組成三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：B。

類型二：求三角形第三邊的長(zhǎng)或取值范圍

根據(jù)三邊關(guān)系確定某一邊的取值范圍，一般題目中會(huì)給出其他兩邊的大小，需要注意的是結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，比如：人數(shù)組成三角形中的隱含條件，數(shù)字必須是正整數(shù)。

一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和3cm，第三邊的長(zhǎng)是整數(shù)，且周長(zhǎng)是偶數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)是( )

A.2cm或4cm B.4cm或6cm

C.4cm D.2cm或6cm

【分析】可先求出第三邊的取值范圍.再根據(jù)5+3為偶數(shù)，周長(zhǎng)也為偶數(shù)，可知第三邊為偶數(shù)(偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù))，從而找出取值范圍中的偶數(shù)，即為第三邊的長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，

則5﹣3

又x為偶數(shù)，

因此x=4或6，

故選：B。

類型三：解答等腰三角形相關(guān)問(wèn)題

考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，一般沒(méi)有明確腰和底邊的題目，一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵。

已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為( )

A.11 B.16 C.17 D.16或17

【分析】分6是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關(guān)系判斷，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：①6是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長(zhǎng)=6+6+5=17;

②6是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長(zhǎng)=6+5+5=16，

綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為16或17，

故選：D。

類型四：三角形的三邊關(guān)系在代數(shù)中的應(yīng)用

三角形的三邊關(guān)系在代數(shù)中的應(yīng)用主要考察化簡(jiǎn)求值、絕對(duì)值的性質(zhì)、整式的加減的綜合應(yīng)用。去絕對(duì)值時(shí)，主要判斷三邊的運(yùn)算和“0”的關(guān)系，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

已知a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|.

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a﹣b﹣c<0，b﹣a﹣c<0，c﹣a+b>0，再去絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)即可求解.

【解答】解：∵a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，

∴﹣b﹣c<0，b﹣a﹣c<0，c﹣a+b>0，

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|

=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a﹣b

=a﹣b+c.

故答案為：a﹣b+c.

類型五：利用三角形的三邊關(guān)系說(shuō)明邊的不等關(guān)系

考查三角形邊的不等關(guān)系時(shí)，主要考察題型為證明題和填空題，主要是通過(guò)三邊關(guān)系確定結(jié)論的正確性，需要注意的是等式的變形中正負(fù)性。

如圖，已知D、E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，問(wèn)AB+AC>BD+DE+EC成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】結(jié)合圖形，反復(fù)運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”進(jìn)行證明。

【解答】答：成立;

證明：延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F、延長(zhǎng)DE交AC于G，

在△AFG中：AF+AG>FG①，

在△BFD中：FB+FD>BD②，

在△EGC中：EG+GC>EC③，

∵FD+ED+EG=FG，

∴①+②+③得：

AF+FB+FD+EG+GC+AG>FG+BD+EC，

即：AB+FD+EG+AC>FG+BD+EC，

AB+AC>FG﹣FD﹣EG+BD+EC，

∴AB+AC>BD+ED+EC。

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