典型例題

【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3，a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是(　　)

【分析】本題考查的是圓的垂徑定理，同時也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì).我們可以做PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結(jié)PB，由于OC=3，PC=a，求得D點坐標(biāo)，判斷△OCD，△PED的形狀.由PE⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可計算出結(jié)果。

答案

【例2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，則∠OCD的度數(shù)是(　　)

A.40° B.45° C.50° D.60°

【分析】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì).難度不大，需要注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用。首先連接OB，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠BOC的度數(shù)，又由OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，即可求得∠OCD的度數(shù).

答案

【例3】(2016秋•杭州期末)如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點M，且∠A=∠B

(1)求證：AC=BD;

(2)若OA=4，∠A=30°，當(dāng)AC⊥BD時，求：

①弧CD的長;

②圖中陰影部分面積.

【分析】這道題目考查的是垂徑定理，扇形面積的計算，以及全等三角形的判斷和性質(zhì)，我們需要根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.第一問可以延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，根據(jù)圓周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出結(jié)論;

第二問第一小問延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)得出∠EOA的度數(shù)，由弧長公式即可得出結(jié)論;第二小問過O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，連接OM，根據(jù)垂徑定理得到AG=AC，BH=BD，推出四邊形OGMH是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到GM=HM=OG=OH，得到AM=BM，解直角三角形得到相關(guān)長度，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B，求得∠AOB度數(shù)，得到結(jié)果.

答案

變式練習(xí)

【練習(xí)1】如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的⊙O交于點G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，則EF= cm.

【練習(xí)2】如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD= 度.

【練習(xí)3】如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點M，AB=20，分別以CM、DM為直徑作兩個大小不同的⊙O1和⊙O2，則圖中陰影部分的面積為　 (結(jié)果保留π).

【練習(xí)4】如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC1，交斜邊AC于點C1，C1B1⊥AB于點B1，設(shè)弧BC1，C1B1，B1B圍成的陰影部分的面積為S1，然后以A為圓心，AB1為半徑作弧B1C2，交斜邊AC于點C2，C2B2⊥AB于點B2，設(shè)弧B1C2，C2B2，B2B1圍成的陰影部分的面積為S2，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影部分的面積S3=.

答案

【練習(xí)1】6

【練習(xí)2】38

【練習(xí)3】50π

【練習(xí)4】

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