典型例題

【例1】如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是(3，a)(a>3)，半徑為3，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是(　　)

【分析】本題考查的是圓的垂徑定理，同時也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質.我們可以做PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，由于OC=3，PC=a，求得D點坐標，判斷△OCD，△PED的形狀.由PE⊥AB，根據垂徑定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可計算出結果。

答案

【例2】如圖，△ABC內接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，則∠OCD的度數是(　　)

A.40° B.45° C.50° D.60°

【分析】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質.難度不大，需要注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用。首先連接OB，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠BOC的度數，又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，即可求得∠OCD的度數.

答案

【例3】(2016秋•杭州期末)如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點M，且∠A=∠B

(1)求證：AC=BD;

(2)若OA=4，∠A=30°，當AC⊥BD時，求：

①弧CD的長;

②圖中陰影部分面積.

【分析】這道題目考查的是垂徑定理，扇形面積的計算，以及全等三角形的判斷和性質，我們需要根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.第一問可以延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，根據圓周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出結論;

第二問第一小問延長AO交⊙O于點F，連接CF，延長BO交⊙O于點E，連接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度數，再由三角形外角的性質得出∠EOA的度數，由弧長公式即可得出結論;第二小問過O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，連接OM，根據垂徑定理得到AG=AC，BH=BD，推出四邊形OGMH是正方形，根據正方形的性質得到GM=HM=OG=OH，得到AM=BM，解直角三角形得到相關長度，根據全等三角形的性質得到∠B，求得∠AOB度數，得到結果.

答案

變式練習

【練習1】如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的⊙O交于點G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，則EF= cm.

【練習2】如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD= 度.

【練習3】如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點M，AB=20，分別以CM、DM為直徑作兩個大小不同的⊙O1和⊙O2，則圖中陰影部分的面積為　 (結果保留π).

【練習4】如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC1，交斜邊AC于點C1，C1B1⊥AB于點B1，設弧BC1，C1B1，B1B圍成的陰影部分的面積為S1，然后以A為圓心，AB1為半徑作弧B1C2，交斜邊AC于點C2，C2B2⊥AB于點B2，設弧B1C2，C2B2，B2B1圍成的陰影部分的面積為S2，按此規律繼續作下去，得到的陰影部分的面積S3=.

答案

【練習1】6

【練習2】38

【練習3】50π

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