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2020初中數學利用軸對稱求距離之和最短距離

來源:網絡資源 2020-05-25 10:20:32

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  已知:如下圖,A、B兩點是直線l同旁的兩個定點
 
  問題:在直線l上求一點P,使得PA+PB的值最小.
 
  分析:作點A關于直線l的對稱點A’,連結A’B,交直線于點P,此時PA+PB=A’B最小.證明過程很簡單,在直線上再任取一點P’,P’A=P’A’,P’A+P’B=P’A’+P’B>A’B,所以點P是所求.
 
  模型應用:
 
  (1)如圖,正方形ABCD邊長為2,點E是邊AB中點,點P是對角線AC上一點.則PE+PB的最小值是           .
 
  (2)如圖,⊙O的半徑為2,點A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一點,則PA+PC的最小值是            .
 
  (3)如圖,直線AB與x軸交于點A(2,0),與y軸交于點B(0,4),點C、D分別是OA、AB的中點,P是OB上一點,求△PCD周長的最小值.
 
  以上幾題是模型1在不同題型中的運用,同學們如果能練成“火眼金睛”,善于在變化的條件中找到不變的數學模型,“以不變應萬變”,就可以像孫悟空一樣成為考場上的“斗戰勝佛”.如果把模型1中的條件稍作調整,又可以得到它的一些推廣模型.
 
  答案:
 
  推廣1:
 
  已知:如圖,點P是∠AOB內一定點.
 
  問題:分別在OA、OB邊上找點M、N,使△PMN的周長最小.
 
  分析:△PMN的周長=PM+MN+NP,可以利用作軸對稱,把這三條線段轉化為同一直線上的線段.如圖,分別作點P關于OA、OB的對稱點P’、P’’,連結P’P’’,分別交OA、OB于點M、N,連結PM、PN,此時PM=P’M,PN=P’N,△PMN的周長=PM+MN+NP=P’P’’,此時周長最小.
 
  模型應用:如圖,點C(1,0),直線y=-x+7與兩坐標軸分別交于A、B兩點,D、E分別是AB、OA上的動點,則△CDE周長的最小值是       
          .
 
  答案:10
 
  推廣2:
 
  已知:點P、Q是∠AOB內部兩定點.
 
  問題:分別在直線OA、OB上找點M、N,使四邊形PMNQ的周長最小.
 
  分析:因為PQ的長度是定值,要使四邊形PMNQ的周長最小,就是要使PM+MN+NQ的值最小.作點P關于OA的對稱點P’,作點Q關于OB的對稱點Q’,連結P’Q’,分別交直線OA、OB于點M、N,連結PM、MN、NQ,因為PM=P’M,QN=Q’N,所以四邊形PMNQ的周長=PM+MN+NQ+QP=P’Q’+PQ,因為PQ是定值,而PM+MN+NQ的最小值為P’Q’的長度,所以此時四邊形PMNQ的周長最小.
 
  模型應用:在平面直角坐標系中,點A(-8,3),點B(-4,5),點C(0,n),點D(m,0),當四邊形ABCD周長最短時,求m:n的值.
 
 
  答案:
 
       
 
  在變化萬千的已知條件下,能夠找到不變的規律,這與《易經》中闡述的“變與不變”的智慧相吻合.人類最高的智慧,就是“以不變應萬變”,這也是數學學習的無敵法寶.

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