1．定義

　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．

　　2．圖象和性質(zhì)

　　二次函數(shù)的圖象都是開口向上或者向下的拋物線，都有一條垂直于x軸的對(duì)稱軸，都有一個(gè)或者最高或者最低的頂點(diǎn)．一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c．

　　（1）y=ax2(a是常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)

　　①開口方向：

　　a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．

　　②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（0，0）

　　a＞0時(shí)，（0，0）為最低點(diǎn)；

　　a＜0時(shí)，（0，0）為最高點(diǎn)．

　　③對(duì)稱軸：y軸（直線x=0）．

　　④增減性：

　　當(dāng)a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時(shí)，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當(dāng)a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時(shí)，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當(dāng)a＞0，且x=0時(shí)，y有最小值0；

　　當(dāng)a＜0，且x=0時(shí)，y有最大值0．

　　（2）y=ax2+c(a，c是常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)

　　①開口方向：

　　a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．

　　②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）

　　a＞0時(shí)，（0，c）為最低點(diǎn)；

　　a＜0時(shí)，（0，c）為最高點(diǎn)．

　　③對(duì)稱軸：y軸（直線x=0）．

　　④增減性：

　　當(dāng)a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時(shí)，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當(dāng)a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時(shí)，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當(dāng)a＞0，且x=0時(shí)，y有最小值c；

　　當(dāng)a＜0，且x=0時(shí)，y有最大值c．

　　（3）y=a（x-h）2(a，h是常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)

　　①開口方向：

　　a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．

　　②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，0）

　　a＞0時(shí)，（h，0）為最低點(diǎn)；

　　a＜0時(shí)，（h，0）為最高點(diǎn)．

　　③對(duì)稱軸：直線x=h．

　　④增減性：

　　當(dāng)a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時(shí)，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當(dāng)a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時(shí)，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當(dāng)a＞0，且x=h時(shí)，y有最小值0；

　　當(dāng)a＜0，且x=h時(shí)，y有最大值0．

　　（4）y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數(shù)，a≠0）

　　的性質(zhì)

　　①開口方向：

　　a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．

　　②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，k）

　　a＞0時(shí)，（h，k）為最低點(diǎn)；

　　a＜0時(shí)，（h，k）為最高點(diǎn)．

　　③對(duì)稱軸：直線x=h．

　　④增減性：

　　當(dāng)a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時(shí)，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當(dāng)a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時(shí)，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當(dāng)a＞0，且x=h時(shí)，y有最小值k；

　　當(dāng)a＜0，且x=h時(shí)，y有最大值k．

　　（5）y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0）

　　的性質(zhì)

　　①開口方向：

　　a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．

　　②頂點(diǎn)坐標(biāo)：

　　a＞0時(shí)，為最低點(diǎn)；

　　a＜0時(shí)，為最高點(diǎn)．

　　③對(duì)稱軸：．

　　④增減性：

　　當(dāng)a＞0，且x＞或a＜0，且x＜時(shí)，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當(dāng)a＞0，且x＜或a＜0，且x＞時(shí)，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當(dāng)a＞0，且x=時(shí)，y有最小值；

　　當(dāng)a＜0，且x=時(shí)，y有最大值．

　　3．三種表達(dá)式

　　（1）一般式：

　　y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0）；

　　（2）頂點(diǎn)式：

　　y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數(shù)，a≠0）；

　　（3）交點(diǎn)式：

　　y=a（x-x？）（x-x？）(a，x？，x？是常數(shù)，a≠0，

　　x？，x？分別是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．

　　4．a(chǎn)，b，c的作用

　　（1）a決定拋物線的開口方向和大小：

　　①a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．

　　②|a|越大，開口越小；|a|越小，開口越大．

　　（2）a、b決定拋物線對(duì)稱軸的位置：

　　①ab＞0（a，b同號(hào)）時(shí)，

　　對(duì)稱軸在y軸左側(cè)(左同)

　　②ab＜0（a，b異號(hào)）時(shí)，

　　對(duì)稱軸在y軸右側(cè)(右異)

　　③ab=0（b=0）時(shí)，對(duì)稱軸為y軸(0中間)

　　（3）c決定拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）的位置：

　　①c＞0，拋物線與y軸正半軸相交

　　②c＜0，拋物線與y軸負(fù)半軸相交

　　③c=0，拋物線與y軸相交于原點(diǎn)

　　（4）b2-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

　　①b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

　　②b2-4ac＜0，拋物線與x軸無交點(diǎn)

　　③b2-4ac=0，拋物線與x軸有唯一一個(gè)

　　交點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）

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