(一)三角形的重心

已知：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。

證明：根據(jù)燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質(zhì)：

1.重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。

2.重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。

3.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：(Z1+Z2+Z3)/3

4重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

如果用塞瓦定理證，則極易證三條中線交于一點(diǎn)。

(二)相似三角形

1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.

2相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比(對應(yīng)邊的比).

3相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.

(三)三角形全等

全等的條件

1.兩個三角形對應(yīng)的兩邊及其夾角相等，兩個三角形全等，簡稱“邊角邊”或“SAS”。

2.兩個三角形對應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”。

3.兩個三角形對應(yīng)的兩角及其一角的對邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角角邊”或“AAS”。

4.兩個三角形對應(yīng)的三條邊相等，兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"。

5.兩個直角三角形對應(yīng)的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。

注意，證明三角形全等沒有“SSA”或“邊邊角”的方法，即兩邊與其中一邊的對角相等無法證明這兩個三角形全等，但從意義上來說，直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。

(四)內(nèi)角和

在歐幾里得的幾何體系中，三角形都是平面上的，所以三角形的內(nèi)角和為180度;三角形的一個外角等于兩個不相鄰的內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于其他兩內(nèi)角的任一個角。

證明：根據(jù)三角形的外角和等于內(nèi)角可以證明，詳細(xì)參見《培優(yōu)：走進(jìn)三角形》

如何證明三角形的內(nèi)角和等于180°

方法1：將三角形的三個角撕下來拼在一起，可求出內(nèi)角和為180°。

方法2：在三角形任意一個頂點(diǎn)處做輔助線，可求出內(nèi)角和為180°。

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