“圖形與變換”主要包括圖形的翻折(軸對(duì)稱) 、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)三個(gè)部分。不同的變換下圖形與圖形之間具有不同的性質(zhì)，而這些基本圖形和基本性質(zhì)及其靈活應(yīng)用對(duì)于合理的推理和成功解題起著至關(guān)重要的作用。這部分內(nèi)容恰又是天津市 的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。下面就以幾道“圖形與變換”中翻折的典型例題來說明這部分內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法，以供大家參考。

南開中學(xué) 張常軍

例1.如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A′、D′處，且A′D′經(jīng)過點(diǎn)B，EF為折疊，當(dāng)D′F⊥CD時(shí)，■的值為

A. ■

B.■

C.■

D. ■

分析：在翻折變換后得到全等圖形的基礎(chǔ)上，本題考查的是△FMC和△BD'M兩個(gè)基本圖形，其中△FMC為30°、60°、90°的基本圖形，三邊的比為1：■：2;△BD'M是30°、30°、120°的基本圖形，三邊的比為1：1：■。再利用FD=FD' 找到FC和FD的關(guān)系得知本題選A。

例2.如圖，在正方形紙片ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，落點(diǎn)為N，折痕交CD邊于點(diǎn)M，BM與EF交于點(diǎn)P，再展開。則下列結(jié)論中：①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB2=3CM2;④△PMN是等邊三角形。正確的有 A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)

分析：在翻折變換后得到全等圖形的基礎(chǔ)上，本題考查的是△BNC為等邊三角形的基本圖形，這樣分析②③④均為正確命題，故本題選C。

例3.已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(11，0)、點(diǎn)B(0，6)、點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP。設(shè)BP=t。

(Ⅰ)如圖①，當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(Ⅱ)如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)。

圖③

分析：本題第一問考查的是翻折之后的全等圖形和△BOP為30°、60°、90°的基本圖形，進(jìn)而通過三邊的比例關(guān)系(也可理解為特殊角的三角函數(shù)值)，由OB=6得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2■，6)。第二問則深入考查了同學(xué)們對(duì)題目進(jìn)行深入挖掘的能力，由矩形條件下兩次翻折的特點(diǎn)得到∠OPQ=90°,進(jìn)而得到△BOP與△CPQ這組K字形相似的三角形，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到第二問的結(jié)果為m=■t2-■t+6(0<11)。而第三問還在深入挖掘圖形隱含條件的基礎(chǔ)上考查了同學(xué)們的繪圖能力。如圖③，由此圖形得到△POC'為等腰三角形，發(fā)現(xiàn)C'A=BP=T，再由RT△AQC'中三邊的關(guān)系利用勾股定理找到T與M的另一組關(guān)系，進(jìn)而解出P的坐標(biāo)為(■，6)或(■，6);或者由△PMC'與△C'AQ這組K字的相似三角形找到T與M的另一組關(guān)系，解出P的坐標(biāo)也可以。< P>#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

圖形變換考查

這幾種能力

通過以上三個(gè)典型例題我們不難發(fā)現(xiàn)，要想順利解出變換類的題目，首先要對(duì)基本圖形的基本性質(zhì)非常熟悉，在此基礎(chǔ)上利用不同變換下圖形與圖形的關(guān)系深入挖掘圖形性質(zhì)，以相似、特殊角的三角函數(shù)值和勾股定理為媒介找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系方可迎刃而解。而這其中考查了幾個(gè)能力：圖形的基礎(chǔ)知識(shí)及其靈活運(yùn)用，對(duì)方程的理解能力，較高的繪圖能力，動(dòng)態(tài)點(diǎn)的感知能力�，F(xiàn)在首先要熟悉基本圖形的基本性質(zhì)，如我們剛剛提到的“30°、60°、90°的三角形性質(zhì)”;“30°、30°、120°的三角形性質(zhì)”;“45°、45°、90°的三角形性質(zhì)”;“K字形的相似三角形”等。同時(shí)要對(duì)審題時(shí)的敏感詞提起重視，比如“直線”、“射線”、“線段”、“坐標(biāo)軸上”等語句，語句不同，運(yùn)動(dòng)的分類情況也不同，進(jìn)而導(dǎo)致解的個(gè)數(shù)不同。

另外一定的繪圖能力也是平時(shí)就應(yīng)該培養(yǎng)的，要敢于根據(jù)變換的不同繪出應(yīng)得的圖形。平時(shí)多體會(huì)，多練習(xí)，不要完全依靠老師，老師講我才聽的做法是不可取的。提示大家多讀幾遍題目，深入挖掘題目隱含的已知條件也是成功解題必不可少的能力。

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